讨论几种主要低通滤波器的近似方法及特点分析

滤波器的近似方法主要有三种：1、巴特沃思（Butterworth）近似（最大平坦近似）；2、切比雪夫（Chebyshev）近似（等波动近似）；3、椭圆函数近似。

上面指出，在实现各种滤波器时，可以只考虑低通滤波器，其他三种（高通、带通和带阻）滤波器都可根据低通滤波器的网络函数，通过相应的参数变换来得到，具体的变换方法将在后面进行讨论。在考虑低通滤波器的网络函数时，不同的低通滤波器其通带截止频率ωc可能是各不相同的，但为了讨论方便起见，把频率变量ω按通常截止频率ωc的尺度进行变换，取Ω=ω/ωc的归一化频率进行近似。对于归一化频率Ω来说，所有低通滤波器的通带截止频率将都变为1。

下面分别讨论几种主要低通滤波器的近似方法。

1、巴特沃思近似

巴特沃思低通滤波器的幅频关系式为

式中Ω为归一化频率，即Ω=ω/ωc；H（0）为Ω=0时的幅值。

从（5.1-2）式可以看到幅频函数|H（jΩ）|将随归一化须率|的增大而单调地减少。当Ω=0时，| H（j0）|=H（0）为最大值，当Ω=1时，| H（jΩ）|=H（0）/，即下降3分贝，以后随Ω的增大而逐渐趋向于零。对于巴特沃思近似，它的通带衰减为3分贝，且与阶数n无关。随着阶数n的增大，其幅频响应越接近于理想滤波器的幅频特性。图5.1-2给出了n=2.5.10时的巴特沃思近似的幅频特性，图中H（0）=1。

从（5.1-2）式可知，当Ω>1时，其幅值将以-20n分贝/10倍频程速率下降。根据对某一阻带频率Ωs时需As分贝的衰减量，则巴特沃思的阶数n为

例如Qs=2时，要求衰减量As大于40分贝，则根据上式得

取n=7，即巴特沃思低通滤波器的阶数n=7时才能满足：Ωs=2时阻带衰减量大于40分贝的要求。显然，对于某一归一化角频率Ω（大于1），衰减As越大，所需阶数n越大。反之，对于给定的阻带衰减量As，Qs越接近于1，则阶数n越大。

为求得巴特沃思低通滤波器的网络函数H（S），由（5.1-2）式可以写为

将上式的jΩ变为复数变量S，则有Ω²=-S²，用S变量代入上式，则可得（设H（0）=1）

（5.1-5）式具有2n个极点，其极点可由下式得到：

由此式可知，2n个极点分布在S平面的单位圆上，且左、右平面是对称的。为了满足可实现条件，可认为左半平面极点为H（S）的极点。根据（5.1-6）式，左平面的极点可写为

因而巴特沃思低通滤波器的网络函数为（见参考文献（32））

为方便起见，上式可写为：

n为偶数时，

而

n为奇数时，

而

由（5.1-10）、（5.1-11）式和（5.1-13）、（5.1-14）式可求得。表5.1-1列出n从2到10的值。根据值，可直接写出n从2到10的巴特沃思低通滤波器的网络函数H（S）。

例如，n=5，a11=0.618，a12=1.618，由（5.1-12）式得

对于n≤10的巴特沃思低通滤波器的幅频特性如图5.1-3所示。图中的角频率座标为归一化角频率Ω，H（0）等于0分贝。

2、切比雪夫近似

巴特沃思近似在Ω=0处具有较好的幅频特性，但在Ω较大时（即当Q=1时）有3分贝的误差，同时在阻带（Ω>1）中，幅度的衰减速率不是很快（对于一定的n值），为此采用切比雪夫近似，由于这种近似在通带内具有等波动特性，故称这种近似为等波动近似。切比雪夫低通滤波器的幅频响应为

式中归一化频率Ω=ω/ωc，而ωc为通带等波动宽度；Ho是Ω=0时的幅值；∈是与通带波动大小有关的量，其值小于1；（Ω）是切比雪夫多项式。

切比雪夫多项式定义如下：

由（5.1-16）式得（Ω）的表示式，如表5.1-2所示。

切比雪夫多项式具有以下特点：

（1）在Q≤1的范围内，函数值（Ω）进行波动，但它的绝对幅度不超出1，即▏（Ω）▏≤1。

（2）当Ω>1时，则▏（Ω）▏将随Ω的增加而迅速增加。

从（5.1-15）式可以看出，在Ω≤1时，因为∈<1，，因此只是在Ho以下进行波动，∈越小则波动也越小，但当Ω>1时，并且，那么将《1，n越大，则减小得越快。图5.1-4示出了对于某一∈值n分别为2、5和10时，切比雪夫近似的幅频特性。

由图5.1-4可知，通带内具有等波动性质，通带最大的衰减值R，与∈的关系为（见参考文献（32））

通带内波动的次数将由近似阶数n来确定，n越大则波动次数越多，但在Ω=1处，则不管n为多大，衰减值相同，即等于。当Ω>1时，幅度下降速率要比巴特沃想近似来得快。若阶数n相同，则越大，阻带的衰减速率越快。

关于近似函数的阶数n，也和巴特沃思近似一样，将由滤波器到达阻带衰减As（分贝）时的阻带频率Ωs来确定，其关系式可由（5.1-15）式来确定。设Ho=1，则阻带衰减值As=1/▏H（jΩs）▕，即

当Ω较大时，，并根据的递推关系式（见表5.1-2），可以推得多项式中Ω的最高次项将为，若在多项式中仅保留其最高次项，于是（5.1-18）式可近似为

由上式得

【例1】设计一个低通滤波器，通带波动分贝，而当Ωs=2时，阻带衰减值As≥

40分贝，试求切比雪夫近似阶数n。

由（6.1-17a）式得

由（5.1-19）式得

根据前面计算可知，阻带衰减As≥40分贝条件下，若采用巴特沃思近似，阶数n为7。显然，切比雪夫近似在阻带衰减要比巴特沃思近似来得快。因此，人们往往采用切比雷夫近似。

为求得切比雪夫近似的网络函数H（S），将S=jΩ代入式（5.1-15）得

由上式可求得H（S）的极点，设极点经一定的数学处理后，分别由下式表示（见参考文献（32））：

式中

计算出后，归一化的切比雪夫网络函数H（S）表示式为

式中

H0是根据H（0）=1时求得的值。将（5.1-22）式的分母展开，H（S）可写为：

n为偶数时，

n为奇数时，

设为的共顿极点，即则（5.1-23）、（5.1-24）式中的

和与极点的关系为

（5.1-24）式中的为网络函数的实极点。

巴特沃思网络函数H（S）的极点分布在以1为半径的一个圆上，而切比雪夫网络函数H（S）的极点分布在相应的椭圆上，它们分布的角度则都是相同的。

【例2】设计低通滤波器，要求通带波动分贝，阻带频率时阻带衰减As≥40分贝。

由（5.1-17a）式得

由（5.1-19）式得阶数n=4。

为简单起见，将（5.1-21a、b）式改写为

式中

将∈值代入关系式得

将值代入（5.1-21a，b）式得

因而切比雪夫网络函数的极点为

由（5.1-23）式得归一化切比雪夫网络函数H（S）为

表5.1-3~5分别给出通带波动为0.1分贝，0.25分贝和0.5分贝时的切比雪夫网络函数，表中实极点为）。

3、椭圆函数近似

前面讨论的巴特沃思、切比雪夫网络函数H（S）是全极点网络函数，没有零点。这里讨论的椭圆函数近似是既有极点又有零点。它在通带部分与切比雪夫近似相似，具有等波动特性，而频率大于通带截止频率（Ω=1）时，其幅度衰减速率比切比雪夫近似更快，但止带衰减不是单调的，也具有等波动特性，为了便于比较，图5.1-5给出了三种近似的幅频特性。这三种曲线，阶数（极点）n都等于5，切比雪夫通带波动。分贝。椭圆函数通带波动分贝，而且椭圆函数近似具有两个零点。

归一化椭圆函数的幅须曲线如图5.1-6所示。图中各参数定义如下；

=通带波动（与切比雪夫近似相同），单位为分贝。

=止带最小衰减，单位为分贝。

Ω1为到达止带衰减时的最低止带频率，通常称椭圆近似的止带频率。通带等波动宽度为通带截止频率，即Ω1，Ω从1→Ω1区，称为过渡带区。

椭圆函数近似的网络函数H（S）计算十分复杂，这里不进行讨论。现只给出表示式和参数表，供设计使用。

椭圆函数近似的归一化网络函数/H（S）为

式中的和由和止带频率所决定。

表5.1-6~表5.1-8分别给出n=3、5、7时的归一化梳圆函数H（S）。表中参数与（5.1-27）、（5.1-28）式中的和有如下的关系：。

联系方式：邹先生

联系电话：0755-83888366-8022

手机：18123972950

QQ：2880195519

联系地址：深圳市福田区车公庙天安数码城天吉大厦CD座5C1

请搜微信公众号:“KIA半导体”或扫一扫下图“关注”官方微信公众号

请“关注”官方微信公众号:提供  MOS管  技术帮助